Les déménageurs, l’énigme maths du « Monde » n° 26

Manquant de place pour accueillir de nouveaux ouvrages, les bibliothécaires de Numville ont décidé de déménager dans de nouveaux locaux. Le jour du déménagement, la bibliothèque compte exactement 1 000 livres sur ses étagères et tous sont répertoriés par un nombre allant de 000 à 999. Malheureusement, des deux déménageurs qui doivent les transporter, l’un est triskaïdékaphobe et l’autre est triacontakaihenaphobe : le premier a peur du nombre 13 et la seconde ne supporte pas le nombre 31. Ils refusent donc de charger dans leur camion tous les livres dont la cote contient un 13 ou un 31, tels que le 213 ou le 318. Ils prennent en revanche les livres portant les chiffres 1 et 3 s’ils ne sont pas mitoyens, comme dans 153.
Combien de livres les bibliothécaires vont-ils devoir transporter eux-mêmes jusqu’au nouveau bâtiment ?
Quelques années plus tard, la collection de la bibliothèque s’est considérablement développée et compte 10 000 ouvrages, désormais numérotés de 0000 à 9999. Il faut à nouveau envisager de changer de bâtiment. Les mêmes déménageurs sont appelés, mais cette fois-ci, au vu du nombre de livres, ils ont pris deux camions. Ainsi, le premier déménageur peut charger dans son camion les livres contenant le nombre 31 que sa collègue ne veut pas. Et cette dernière peut transporter les livres ayant le nombre 13 dont son collègue refuse de s’occuper. Pourtant, quand ils repartent, les bibliothécaires constatent qu’il leur reste encore des livres.
Combien y en a-t-il ?
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Indice
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Solution
Entre 0 et 999, il y a dix nombres de la forme 13X, où X est un chiffre de 0 à 9. Il y en a également dix pour chacune des formes X13, 31X et X31. Ceci pourrait faire un total de 40 livres, mais les nombres 313 et 131 ont été comptés deux fois. Ce sont donc 38 livres que les bibliothécaires de Numville vont devoir transporter eux-mêmes.Le jour du deuxième déménagement, seuls les livres dont la cote contient à la fois un 13 et un 31 sont laissés. Il y en a dix de chaque forme X131, X313, 131X et 313X. Ce qui ferait 40 si les 3131 et 1313 n’avaient pas été comptés deux fois. Ce qui ferait 38 si les 3113 et 1331 n’avaient pas été oubliés. Les bibliothécaires vont devoir transporter 40 livres.
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Mickaël Launay
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